eine einfache kurvendiskussion - gebrochen rational
 
 
 

Gegeben sei die funktion (schreibweise in linearer notation; diese schreibweise wird von vielen üblichen programmen erwartet)

f(x) = (x - 1)^2 / (4*(x + 2)) = (x2 - 2x + 1) / (4x + 8)
Geben sie zu dieser funktion die folgenden informationen an und erstellen sie abschliessend aufgrund dieser informationen eine skizze zum verlauf des funktionsgraphen.
a) definitionsbereich
b) untersuchung der definitionslücke
c) symmetrie
d) nullstellen
e) lokale extrema
f) asymptote
g) skizze

 

eine lösungsskizze finden sie hier.


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

lösungsskizze

bereitstellen der benötigten ableitungen:
f '(x) = [(2x - 2)(4x + 8) - (x2 - 2x + 1) * 4] / (4x + 8)2 = (4x2 + 16x - 20) / (16x2 + 64x + 64)
f ''(x) = [(8x + 16)(4x + 8)2 - (4x2 + 16x -20)(32x + 64)] / (4x + 8)4
 

a) definitionsbereich

ID = IR \ {-2}
Zulässig sind alle reellen zahlen ausser der -2. Setzt man diese in den term ein, so führt dies zur division durch null.
 

b) untersuchung der definitionslücke

Im zeitalter des rechenschiebers bietet es sich an, dass die untersuchung numerisch durchgeführt wird. Setzen sie unten einfach zahlen ´ein klein wenig´ links bzw. rechts von -2 ein um zu sehen, wie sich die funktion in der umgebung der definitionslücke verhält.
SETZEN SIE KEINESFALLS DEN WERT -2 EIN!
 

Funktionswerte (konkreten x-wert einsetzen):
f() = . 

 
 

c) symmetrie

Multipliziert man den zähler aus, so findet man gerade und ungerade exponenten am x, über die symmetrie lässt sich mit den üblichen einfachen sätzen nichts sagen, also lässt sich damit auch die symmetrie der vorliegenden funktion nicht bestimmen.
 

d) nullstellen

Ein bruch wird nur dann 0, wenn sein zähler 0 wird. Damit ergibt sich der ansatz:

0 = (xN - 1)2
und daraus erhält man als einzige nullstelle den wert xN = 1.
 

e) lokale extrema

Bestimmung unter verwendung der hinreichenden bedingung:
ist f '(xE) = 0 und ausserdem f ''(xE) < 0, dann ist in xE ein lokales Maximum;
ist f '(xE) = 0 und ausserdem f ''(xE) > 0, dann ist in xE ein lokales Minimum.

1. Stufe:
Suche der x-werte, bei denen evtl. ein lok. extremum liegt; dort muss die 1. abltg. '0' sein; wieder gilt, dass ein bruch nur dann 0 wird, wenn sein zähler 0 wird:

0 = 4xE2 + 16xE - 20    | : 4
0 = xE2 + 4xE - 5         | mit dem satz von vieta
0 = (xE + 5)(xE - 1)      | faktoren getrennt betrachten liefert
xE1 = -5     xE2 = 1
2. Stufe:
Kontrolle, ob für die gefundenen x-werte auch der 2. teil der bedingung erfüllt ist:
f ''(x) = [(8x + 16)(4x + 8)2 - (4x2 + 16x -20)(32x + 64)] / (4x + 8)4
die kontrolle lässt sich sehr vereinfachen, denn wir setzen spezielle x-werte ein; damit ergibt sich:
f ''(-5) = [(8*(-5) + 16)*positiv - 0 * (32*(-5) + 64)] / positiv = [(8*(-5) + 16)*positiv] / positiv  < 0,  damit liegt ein lok. maximum vor.
f ''(1) = [(8 * 1 + 16)*positiv - 0 * (32 * 1 + 64)] / positiv = [(8 * 1 + 16)*positiv] / positiv  > 0,  damit liegt ein lok. minimum vor.


f) asymptote

will man wissen, wie sich die funktion für sehr grosse oder sehr kleine x-werte verhält, so hilft hier die polynomdivision weiter. Führt man die division (x2 - 2x + 1) / (4x + 8)  aus, so findet man als alternative schreibweise

f(x) = 0,25x - 1 + 9/(4x + 8)
Für sehr grosse oder sehr kleine x-werte ist der bruchanteil praktisch 0, sodass sich die funktion dort an die gerade
g(x) =  0,25x - 1
annähert.
 

g) 'skizze'