. Determinanten .
und lineare Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem wird oft wie folgt aufgeschrieben:

Ax + Ky = S
Bx + Ly = T

Dabei stehen x und y für die beiden unbekannten Werte, die es zu berechnen gilt; die Grossbuchstaben ändern ihren Wert, je nach den Erfordernissen der Aufgabe.  So könnte eine solche Aufgabe etwa aussehen:

3x - 2y = -8
4x + 6y = -12

Hier wäre also A = 3, K = -2, S = -8 und so weiter.

Hat man sehr oft mit Gleichungssystemen zu tun, so lohnt sich der Umstieg auf eine andere Schreibweise für Gleichungssysteme, auf die Verwendung von Matrizen.

(
A K
B L
) (
x
y
) = (
S
T
)

Oder im konkreten Beispiel:
(
3 -2
4 6
) (
x
y
) = (
-8
-12
)

Löst man das oben gegebene Gleichungssystem abstrakt, so erhält man diese Formeln:


x = 
S*L - T*K
A*L- B*K
    und     
y = 
A*T - B*S
A*L - B*K
 

Der Nenner ist beide Male gleich, der Zähler allerdings recht verschieden.

Als Gedächtnisstütze bieten sich Determinanten an:
|
A K
B L
| =A*L- B*K

Als Merker:

Diagonalenprodukt von oben links nach unten rechts
minus
Diagonalenprodukt von unten links nach oben rechts

Im Zähler der x-Formel steht damit:
|
S K
T L
| =S*L- T*K

Im Zähler der y-Formel haben wir dann:
|
A S
B T
| =A*T- B*S

Damit merkt man sich die Lösungsformeln einfacher:

x = 
|
S K
T L
|
|
A K
B L
|
    und    
y = 
|
A S
B T
|
|
A K
B L
|


Daraus ergibt sich im konkreten Beispiel dieser sinnvolle Rechenweg:

1) Zunächst die 'Nennerdeterminante' berechnen:
|
3 -2
4 6
| =3*6- 4*(-2) = 26

Wäre die Nennerdeterminante gleich Null, so gäbe es keine Lösung!
(man müsste ja durch Null teilen - und das geht nicht wirklich gut.)

2) Zähler für das 'x'
|
-8 -2
-12 6
| =-8*6- (-12)*(-2) = -72

3) Zähler für das 'y'
|
3 -8
4 -12
| =3*(-12)- 4*(-8) = -4

4) Lösungen ausrechnen,
also:    x = -72 / 26   und   y = -4 / 26

Für 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten kann man die Grundidee so übertragen:

Ax + Ky + Sz = H
Bx + Ly + Tz = I
Cx + My + Uz = J
In Matrizenschreibweise:

(
A K S
B L T
C M U
) (
x
y
z
) = (
H
I
J
)


Eine dreireihige Determinante kann man wie folgt ausrechnen:


|
A K S
B L T
C M U
|
A K
B L
C M
 = ALU + KTC + SBM - CLS - MTA - UBK 


Als Merker ergibt sich sehr ähnlich wie oben:

Diagonalenprodukte von oben links nach unten rechts
minus
Diagonalenprodukte von unten links nach oben rechts

Auch die Lösungsformeln sind entsprechend:

x =
|
H K S
I L T
J M U
|
|
A K S
B L T
C M U
|
   und    y =
|
A H S
B I T
C JM U
|
|
A K S
B L T
C M U
|
   und   z =
|
A K H
B L I
C M J
|
|
A K S
B L T
C M U
|