Die folgenden handskizzen geben einen ersten einstieg in die flächenberechnung; dabei ist in 'bleistift' jeweils ein beispiel mit konkreten zahlen angegeben, in 'tinte' jeweils der abstrakte fall; der rechte rand ist jeweils durch x_r gegeben.

Zunächst ziehen wir uns auf die berechnung bekannter, geradlinig begrenzter flächen zurück und machen gebrauch von den zugehörigen formeln. Dazu legen wir die flächen in ein koordinatensystem und geben jeweils die nach oben begrenzende funktion an.
 
 
 

	Rechteck flächenformel: F = breite * höhe  f(x) = 3  breite: xr;  höhe: 3  fläche:   F(xr) = 3*xr f(x) = c  breite : xr;   höhe: c  fläche:   F(xr) = c*xr
	rechtwinkliges Dreieck flächenformel: F = grundseite * höhe / 2  f(x) = 12x  grundseite :  xr;  höhe: 12xr fläche: F(xr) = xr * 12xr /2                     = 6 xr2 f(x) = cx  grundseite :  xr;  höhe: cxr fläche: F(xr) = xr * cxr /2                     = c/2 xr2
	Parallelogramm flächenformel (hier): F = (s + t)/2  * xr f(x) = 4x + 8  seiten: s = 8;  t = 4xr + 8;  fläche: F(xr) = (8 + [4xr + 8])/2 * xr                    = 4/2 xr2 + 8xr f(x) = mx + b  seiten: s = b;  t = mxr + b;  fläche: F(xr) = (b + [mxr + b])/2 * xr                    = m/2 xr2 + bxr

Hier in tabellarischer form die bisherigen ergebnisse. Wenn man eine weile darüber nachdenkt, dann findet man sicher einen zusammenhang zwischen flächenformel und begrenzender funktion.
 
 

F(xr) = c*xr   f(x) = c

F(xr) = c/2 xr2    f(x) = c  x

F(xr) = m/2 xr2 + bxr   f(x) = m  x     + b

Die obigen beispiele bringen uns auf die vermutung:

Anders herum formuliert:

Dabei ist 'aufleiten' kein gebräuchlicher ausdruck (aber anschaulich ist er). Es lohnt sich unbedingt diese idee weiter zu verfolgen, denn mit ihr könnte man sehr viele flächen relativ einfach berechnen.

Was ist bei flächen, die nicht bei der 0 beginnen?

Bisher lag der linke rand der fläche immer (mehr oder minder zufällig) beim wert 0; im nächsten beispiel wird ein anderer wert für den linken rand gewählt. Dadurch kommt man auf eine idee, wie es im allgemeinen fall sein könnte:

Die schraffierte fläche lässt sich mit unseren mitteln errechnen, indem man zunächst die fläche berechnet, deren unterkante bei 0 beginnt und bei x_r endet, und davon den wert der fläche abzieht, deren unterkante bei 0 beginnt und bei x_l endet. Für beide teile können wir die parallelogrammformel von oben verwenden.

 

über die differenz der flächen ergibt sich:  F(xl;xr) = F(xr) - F(xl)         = (m/2 xr2 + bxr) - (m/2 xl2 + bxl)  testhalber: rechnen sie für den konkreten fall nach, ob alles stimmt.

Das könnte auch in anderen fällen - vielleicht sogar immer - so gehen.

Vermutung:
Beginnt die fläche auf der x-achse bei x_l und endet auf der x-achse bei x_r, so bekommt man die flächenmasszahl, indem man rechnet:

Und jetzt kommt der test unserer vermutung: wir rechnen mit unserer neu entdeckten formel die fläche aus und überprüfen, ob der wert zur wirklichkeit passt. Dazu muss eine recht gute zeichnung der parabel angefertigt werden und man muss dann auszählen, wieviele flächeneinheiten zwischen der kurve und der x-achse liegen.

 

Vorab: 'aufleiten' der kurvenformel  f(x) = -x2 + 8x - 7     F(x) = -1/3x3 + 8/2x2 - 7x  Falls man die idee aus dem vorigen beispiel übertragen kann, dann müsste gelten:  F(1;7) = F(7) - F(1)             = (-1/373 + 8/272 - 7*7) - (-1/313 + 8/212 - 7*1)             = 36

Machen sie sich die mühe eine zeichnung anzufertigen und dann kästchen auszuzählen (falls sie den üblichen massstab wählen [1cm ^1einheit], dann bekommen sie viermal soviele kästchen wie flächeneinheiten).

Vorschlag für eine wertetabelle:

 

x	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5	7
y

Kleines hilfsmittel zur berechnung der werte:

Was ist bei flächen, die unter der x-achse liegen?

Und ein weiterer test: spiegeln wir die parabel aus dem vorigen beispiel an der x-achse, so ist die eingeschlossene fläche natürlich genauso gross, wie vorher. Was macht unsere neue rechentechnik daraus?

 

Vorab: 'aufleiten' der kurvenformel  f(x) = x2 - 8x + 7     F(x) = 1/3x3 - 8/2x2 + 7x  Falls man die idee aus dem vorigen beispiel übertragen kann, dann müsste gelten:  F(1;7) = F(7) - F(1)             = (1/373 - 8/272 + 7*7) - (1/313 - 8/212 + 7*1)             = -36     wie bitte?!  minus!?

Ein negativer wert für eine fläche? Das kann nicht sein! Hier ist noch denkbedarf, das muss man nochmal anders betrachten:
 

f(x) = -3x + 6   damit:   F(xr) = -3/2xr2 + 6xr Lassen wir die flächen jeweils bei 0 anfangen, dann ergibt sich:  F(1) = -3/2*12 + 6*1 = 4,5  F(2) =                       = 6  F(3) =                       = 4,5  F(4) =                      = 0  Also: sobald ein stück der zu berechnenden fläche unter der x-achse liegt produziert es eine negative flächenmasszahl.

Damit sind erste ideen aufgezeigt, aber auch, dass noch einiges zu überlegen bleibt, bis eine gute lösung gefunden ist.

Sicher muss man flächen unterscheiden, die entweder ganz über oder oder ganz unter der x-achse liegen und solche, die teils drüber, teils drunter liegen. Kommt man an dieser stelle weiter, so treten fragen auf wie:
- kann man jede funktion 'aufleiten'?
- ist das 'aufleiten' eindeutig oder können sich mehrere formeln ergeben?
- wie 'leitet' man 'auf'?

- wie heißt das 'aufleiten' richtig?
 

Nach diesen ersten schritten ist es an der zeit neue begriffe einzuführen, damit man überhaupt über die sachverhalte vernünftig reden kann. Dabei müssen die begriffe genau festgelegt werden, damit keine missverständnisse aufkommen. Hier trennen sich die wege von grund- und leistungskurs: wird man beim grundkurs das sog. "stammfunktionsintegral" einführen, so freut sich der leistungskurs wieder über grenzwerte und schliesslich "riemannintegrale".