Gegeben sei die ganzrationale funktion
f(x) = 3x4 + 4x3.Untersuchen sie diese funktion auf
-symmetrie,Fertigen sie aufgrund der gefundenen daten eine skizze zum verlauf an.
-nullstellen und
-lokale extrema.
Bereitstellen der benötigten ableitungen:
f '(x) = 12x3 + 12x2
f ''(x) = 36x2 + 24x
mit den einfachsten sätzen hier nicht erkennbar,
da sowohl gerade wie auch ungerade exponenten beim 'x' auftreten.
0 = 3xN4 + 4xN3 | viel ausklammern hilft viel
0 = xN3 (3xN + 4) | beide faktoren getrennt '0' setzen liefert:
xN1 = 0 und xN2 = -4/3
Bestimmung unter verwendung der hinreichenden
bedingung:
ist f '(xE) = 0 und ausserdem f ''(xE)
< 0, dann ist in xE ein lokales Maximum;
ist f '(xE) = 0 und ausserdem f ''(xE)
> 0, dann ist in xE ein lokales Minimum.
1. Stufe:
Suche der x-werte, bei denen evtl. ein lok. extremum
liegt; dort muss die 1. abltg. '0' sein:
0 = 12xE3 + 12xE2 | viel ausklammern...2. Stufe:
0 = 12xE2 (xE + 1) | faktoren getrennt betrachten liefert
xE1 = 0 und xE2 = -1
f ''(xE1) = f ''(0) = 36*02 + 24*0 = 0Mit dem oben angegebenen satz kann in diesem fall keine aussage über maximum/ minimum getroffen werden.
f ''(xE2) = f ''(-1) = 36*(-1)2 + 24*(-1) > 0in xE2 liegt ein lokales minimum vor.
zugehörige Funktionswerte:
f(xE1) = f(0) = 0 (war ja schon als nullstelle aufgefallen)
f(xE2) = f(-1) = 3*(-1)4 + 4*(-1)3 = 3 - 4 = -1.
Die 'ausbeute' dieser kurvendiskussion ist mager:
2 nullstellen, 1 lokales minimum und eine stelle, an der eine waagrechte
tangente vorliegt (und das auch noch bei einer der nullstellen!); aufgrund
dieser daten wird eine skizze eine windige sache, man sollte noch ein paar
punkte der funktion berechnen. Nutzen sie doch einfach die im folgenden
bereitgestellte rechenroutine.
Funktion (allgemein, wie angegeben):
f(x) = 3x4 + 4x3.
Es folgt eine zeichnung der funktion:
