. Lineare Gleichungssysteme .

Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten: x und y.
 

Üblicherweise wird ein solches Gleichungssystem wie folgt aufgeschrieben:

Ax + Ky = S
Bx + Ly = T

Dabei stehen x und y für die beiden unbekannten Werte, die es zu berechnen gilt; die Grossbuchstaben ändern ihren Wert, je nach den Erfordernissen der Aufgabe.  So könnte eine solche Aufgabe etwa so aussehen:

3x - 2y = -8
4x + 6y = -12

Hier wäre also A = 3, K = -2, S = -8 und so weiter.

Entsprechend sind die Zahlen beim folgenden Gleichungslöser einzugeben.

Der Online - Gleichungslöser

x + y =
x + y =

Ergebnis: x = y =


Hat man gerade keinen Gleichungslöser zur Hand, so kauft man die Lösung beim Rechenmeister oder verwendet eines der folgenden Verfahren.

- Gleichsetzungsverfahren
Dieses Verfahren bietet sich an, wenn beide Gleichungen nach y (oder beide nach x) aufgelöst sind, etwa so:

y = -2x +8
y = 3x - 6
Hier kommt man zu einer Gleichung mit einer Unbekannten, indem man ansetzt:
-2x + 8 = 3x - 6
und dann diese Gleichung nach x auflöst. Den gefundenen Wert setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und erhält den zugehörigen y-Wert.

- Einsetzungsverfahren
Auch dieses Verfahren eignet sich in einem besonderen Fall, nämlich dass nur eine der Gleichungen nach y (oder x) aufgelöst ist; in diesem Fall kommt man wie folgt zu einer Gleichung mit einer Unbekannten:

y = -2x +8
4x + 6y = -12
Der Ansatz:
4x + 6(-2x +8) = -12
dann weiter, wie gewohnt.

- Additionsverfahren
Sicher das mächtigste der Verfahren, denn es passt für den allgemeinen (normalen) Fall. Hier wird ein cleveres Rechenschema verwendet, dessen Funktionsweise hier nur an einem Beispiel demonstriert werden soll.
Gegeben sei die Aufgabenstellung:

3x - 2y = -8
4x + 6y = -12
Um nur das ´x´ zu bekommen muss man das ´y´ rauswerfen, dazu nimmt man die obere Gleichung mit 3 mal, denn dann steht in beiden Gleichungen eine 6 vor dem ´y´:
 
3x - 2y =  - 8
4x + 6y = -12
 *3
(bleibt so)
9x - 6y = -24
4x + 6y = -12
 (jetzt wird spaltenweise
 untereinander addiert)
13x       = -36
 (durch 13 teilen)
x = -36 / 13
 (das lass´ ich mal so stehen)
(um ´y´ zu bekommen gibt es noch
 mehr an ´Trick´ :-) )
3x - 2y = -  8
4x + 6y = -12
 *(-4)
*3        (das liefert:)
-12x +   8y =   32
12x + 18y = -36
 (ja genau, jetzt wird wieder spaltenweise
 untereinander addiert)
26y = -4
 (durch 26 teilen)
y = -4 / 26
 (das lass´ ich .....)
Tja, so sieht das also in Kurzform aus!

- Determinanten
Ebenfalls ein gutes Verfahren für den allgemeinen Fall. Dieses Verfahren kann man relativ einfach auf 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten usw. übertragen.  Hinweise dazu finden Sie hier -->