Sie kennen werbesprüche dieser art:
Attraktive männer fahren die automarke 'Schepper'.Die werbetreibenden bauen hier auf einen beliebten gedankenkurzschluss, denn man springt schnell zum umkehrschluss:
Elegante frauen benützen das parfum 'Morchèlle deLuxe'.
Erfolgreiche menschen trinken 'Rülps' - das bier für kenner.
Wenn ich 'Rülps' trinke, dann bin ich ein erfolgreicher mensch!Stimmt aber nicht, wahrscheinlich sind sie nur betrunken! Man kann eine schlussfolgerung nicht einfach umdrehen und erwarten, dass die aussage noch immer stimmt. Das kann zwar sein, ist aber nicht zwingend, wie das folgende (etwas blöde) beispiel zeigt:
Ein hund hat vier beine.(Lassen wir mal die 'unfallexemplare' aussen vor)
Wenn man die aussage strenger, formaler fasst erhält man:
Wenn das tier ein hund ist, dann hat es vier beine.Dreht man diesen satz nun um, so ist offensichtlich, dass die entstandene aussage nicht stimmt:
Wenn das tier 4 beine hat, dann ist es ein hund.....oder ein elefant, oder ein pferd, oder eine katze, oder....
Man kann die aussage aber evtl. wieder richtig machen, indem man zusätzliche voraussetzungen aufnimmt, wie etwa:
Wenn das tier 4 beine hat und bellt, dann ist es ein hund.(....oder eine katze mit fremdsprachenkenntnissen.)
Im zusammenhang mit der untersuchung von kurven (die leidige kurvendiskussion) stösst man auf ein entsprechendes problem: liegt bei einem x-wert namens x0 ein lokales extremum vor, so muss dort die ableitung (die steigung der funktion) gleich 0 sein (anschaulich: bei einem lokalen maximum steigt die funktion vorher -also steigung positiv, nachher fällt die funktion -also steigung negativ; beim lokalen minimum andersherum); formaler ausgedrückt:
Wenn in x0 ein lokales extremum vorliegt, dann ist f '(x0) = 0.Auch diesen satz kann man nicht umdrehen und eine richtige aussage erhalten, denn es gibt sofort ein gegenbeispiel.
Wenn f '(x0) = 0 ist, dann ist in x0 ein lokales extremum. (die aussage ist falsch)Gegenbeispiel: die funktion f(x) = x3 hat in x0 = 0 die ableitung/ steigung 0 und trotzdem ist dort kein lokales extremum.
Wie beim hundebeispiel kann man hier durch zusätzliche voraussetzungen etwas retten:
Wenn f '(x0) = 0 und (die funktion bellt- nein, blödsinn!) f ''(x0) > 0 ist,Man erfasst damit nicht alle fälle -was ist, wenn die zweite ableitung gleich 0 ist?- aber man bekommt für den täglichen gebrauch ein ganz gutes werkzeug.
dann ist in x0 ein lokales minimum. beziehungsweise:
Wenn f '(x0) = 0 und f ''(x0) < 0 ist,
dann ist in x0 ein lokales maximum.
