Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form

Sie lassen sich durch relativ einfache Umformungen auf die Schreibform

Neben der p-q-Formel gibt es noch die Möglichkeit
- die Lösungen zu raten (vornehmer: durch Anwendung des Satzes von Vieta)
- oder im Falle, dass q = 0 ist (also garnicht erst auftritt), das x auszuklammern und dadurch den Term zu faktorisieren.
 
 

Für quadratische Gleichungen der Form

 gibt es die p-q-Formel (Herleitung) als Lösungsformel. Sie lautet:
 

x₁ = ^-p/₂ - wurzel( (^p/₂)² - q)    bzw.
x₂ = ^-p/₂ + wurzel( (^p/₂)² - q)

Beispiel:  Bei der Gleichung 0 = x² - 6x  - 4  geben Sie als p die ´-6´ und als q die ´-4´ ein.

Satz von Vieta

Multipliziert man spasseshalber einige Produkte der Form (x + a)(x + b) aus, so stellt man bald eine Gesetzmässigkeit fest - das hat auch Herr Vieta, franz. Mathematiker (1540 - 1603) und der hat sie aufgeschrieben, die Gesetzmässigkeit. Hier wird sie an nur Zahlenbeispielen verdeutlicht:

(x - 5)(x + 2) = x² + 2x - 5x -10 = x² - 3x -10        -> -5 * 2 = -10  und -5 + 2 = -3

oder
(x + 7)(x - 1) = x² - 1x + 7x - 7 = x² + 6x - 7        -> 7 *(-1) = -7  und  7 + (-1) = 6

oder
(x + 2)(x + 9) = x² + 9x + 2x + 18 = x² + 11x + 18    -> 2 * 9 = 18  und  2 + 9 = 11

und nun abstrakter:
(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab = x² + (a + b)x + ab
 

-> Und jetzt zur Anwendung:
Sucht man die Lösungen zur Gleichung   0 = x² + x - 6 , so kann man versuchen, den rechten Teil der Gleichung in ein Produkt umzuformen; dies geht recht oft gut, wenn man die obigen Beispiele rückwärts liest. In diesem Fall kann die Zahl ´-6´ entstanden sein als das Produkt der Zahlen ´2´ und ´-3´ oder auch von ´-2´ und ´3´ oder auch...   Nun muss aber auch die Summe der beiden Werte passen: es muss erste Zahl plus zweite Zahl den Wert vor dem ´x´ ergeben! Hier passt die Kombination ´-2´ und ´3´,
denn 1).   -2 * 3 = -6
und   2).   -2 + 3 = +1

Also kann man schreiben:
 

0 = x² + x - 6    anders:
0 = (x - 2) * (x + 3)   und damit:
         x₁ = 2   x₂ = -3

Nochmal:
0 = x² - x - 20    anders:
0 = (x - 5) * (x + 4)   und damit:
         x₁ = 5   x₂ = -4

Aller guten Dingen sind dreiquadrat:
0 = x² + 4x - 12    anders:
0 = (x - 2) * (x + 6)   und damit:
         x₁ = 2   x₂ = -6

Der Satz von Vieta ist nur dann effektiv angewendet, wenn man nach sehr kurzer Zeit durch Intuition und Glück die Zerlegung gefunden hat. Muss man anfangen zu Rechnen (etwa mit einem Gleichungssystem), so findet man die Lösung sicher mit der p-q-Formel schneller!

´Raten´ Sie mal die passenden Werte für  0  = x² - ²/₇x + ⁸/₁₅   !
Nee, lassen Sie mal lieber, Ihr Partner wollte dieses Wochenende doch was mit Ihnen unternehmen, oder?
 

Im Spezialfall, dass q = 0 ist, mit anderen Worten:

kann man eine Faktorisierung durch ausklammern von ´x´ erreichen; damit hat man gewonnen, wie das folgende Beispiel zeigt:

Herleitung der p-q-Formel durch quadratische Ergänzung
 
 

Zahlenbeispiel	allgemeine Rechnung	Bemerkungen
0 = x2 - 6x  - 4	0 = x2 + px  + q	zurückführen auf Scheitelpunktform
0 = x2 - 6x + (9 - 9)- 4	0 = x2 + px + ((p/2)2 - (p/2)2) + q	passende Ergänzung ´reinmogeln´  (in der Klammer steht jeweils 0 !
0 = (x2 - 6x + 9) - 9- 4	0 = (x2 + px + (p/2)2 ) - (p/2)2 + q	Umdenken; durch Klammerung sichtbar machen
0 = (x - 3)2 - 9- 4	0 = (x + (p/2))2- (p/2)2 + q	binomische Formel anwenden (und ggf. zusammenrechnen)
0 = (x - 3)2 - 13	(hier geschieht gerade nichts)	sortieren, um an das ´x´ zu kommen
13 = (x - 3)2	(p/2)2 - q = (x + (p/2))2	Wurzel ziehen (daran denken, dass zwei Lösungen vorhanden sind)
+wurzel(13) = x - 3  oder -wurzel(13)  = x - 3	+wurzel((p/2)2 - q) = x + (p/2)  oder -wurzel((p/2)2 - q) = x + (p/2)	nach ´x´ auflösen
3 + wurzel(13) = x1   oder 3 - wurzel(13) = x2	-(p/2)  +  wurzel((p/2)2 - q)  = x1  oder -(p/2)  - wurzel((p/2)2 - q)  = x2	hier sind die beiden Lösungen!