. Matrizen .
und Verschlüsselung

Eine Möglichkeit zur Nutzung von Matrizen besteht in der Verwendung der Matrizenmultiplikation zur Verschlüsselung von Texten (oder Daten). Dabei kann man, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird, vorgehen. Die Darstellung dient lediglich der Verdeutlichung des Prinzips, wer sich näher mit der Kryptographie beschäftigen will, der findet hier einen guten Einstieg: Mathe-Prisma der Uni Wuppertal bietet Module zu verschiedenen Techniken an.


Zunächst benötigt man eine Matrix, mit deren Hilfe verschlüsselt werden soll. Diese Matrix muss invertierbar sein, damit man später auch wieder Entschlüsseln kann.  Bei diesem Beisp. soll mit der Matrix
M = (
1 3
4 2
)  und  M-1 = (
-0,2  0,3
 0,4 -0,1
)
verschlüsselt bzw. entschlüsselt werden.

Für die gewählte Matrix M und ihre Inverse M-1 gilt:

(
1 3
4 2
) (
-0,2  0,3
 0,4 -0,1
) = (
1 0
0 1
)


Nicht zu jeder beliebigen Matrix gibt es eine Inverse; in diesem Zusammenhang sind Determinanten sehr nützlich.


Um einen Text zu verschlüsseln übersetzt man ihn zunächst in Zahlen; in diesem Beispiel werden die Buchstaben einfach durchnummeriert und so wird aus dem wort 'broetchen' die Zahlenfolge '02 18 15 05 20 03 08 05 14'.
Diese Zahlenfolge wird als Matrix aufgeschrieben:
(
02 15 20 08 14
18 05 03 05 30
)
Dabei ist die '30' unten rechts ein willkürlicher Füllwert, damit die Matrix 'T' vollständig ist.

Die Verschlüsselung erfolgt durch eine Matrixmultiplikation:

(
1 3
4 2
) (
02 15 20 08 14
18 05 03 05 30
) = (
56 30 29 23 104
44 70 86 42 116
)

Der verschlüsselte 'Text' lautet also: '56 44 30 70 29 86 23 42 104 116'.

Zur Entschlüsselung wird einfach der verschlüsselte Text mit M-1 multipliziert:

(
-0,2  0,3
 0,4 -0,1
) (
56 30 29 23 104
44 70 86 42 116
) = (
02 15 20 08 14
18 05 03 05 30
)

das Ergebnis in eine Zeile geschrieben und dann in Text zurückübersetzt.