Viele natürliche Vorgänge weisen ein sogenanntes "exponentielles Wachstum" auf. Diese Wachstumsvorgänge sind dadurch gekennzeichnet, dass nach einer festen Zeit (etwa alle 10 Minuten oder vielleicht auch alle 3 Jahre) ein fester Prozentsatz zum vorhandenen Wert hinzukommt.
Beispiel: Grippeepedemie.
Nehmen wir mal an, Sie haben sich heute (heute ist der Tag Nummer 0), genau
um 10:32 Uhr, einen Grippevirus eingefangen. Sie wissen es noch nicht und
haben daher genug Zeit andere Leute anzustecken und zwar wie folgt: bis morgen
(Tag Nr. 1) um 10:32 Uhr haben Sie 2,718 weitere Leute angesteckt, die ihrerseits
bis übermorgen (Tag Nr. 2) (klar, genau 10:32 Uhr) wiederum jeder genau
2,718 neue Leute angesteckt haben werden, die ..... In diesem
Beispiel kommen alle 24 Stunden 271,8 Prozent hinzu.
Der etwas merkwürdige Wert von 2,718 soll in diesem Beispiel für den Durchschnitt der neu infizierten Personen stehen; man wird bei einer solchen Epedemie mit einem Durchschnittswert rechnen müssen, denn jede reale Person wird unterschiedlich viele neue Personen infizieren (eine Lehrerin, ein Kellner werden mehr Leute anstecken, als jemand, der alleine an seinem Schreibtisch arbeitet).
Diese Beispielepedemie wird sich zahlenmässig so entwickeln:
| Tagesnummer | Anzahl Neuinfizierter |
Rechenweg | Formel für Neuinfizierte |
| 0 | 1 | - | - |
| 1 | 2,718 | 1*2,718 | p = 1*2,7181 |
| 2 | 7,389 | 1*2,718*2,718 | p = 1*2,7182 |
| 3 | 20,086 | 7,389*2,718 | p = 1*2,7183 |
Lassen Sie sich von dem kleinen Rechner hier unten doch mal für 5, 10, 15 Tage ausrechnen, wieviele Leute an diesem Tag neu infiziert werden (und vergessen Sie nicht, dass die andern ja auch evtl. noch ihre Grippe haben).
Zunächst die Tageszahl eingeben, dann berechnen lassen.
Und am wievielten Tag werden so viele Leute neu angesteckt, wie gerade
auf der Erde leben (am 12.10.99 wurde der 6-milliardenste Mensch geboren)?
Weitere Beispiele für ein ähnlich verlaufendes Wachstum:
- Ausbreitung eines Gerüchts (Haben Sie schon gehört, dass der
Herr X eine neue Freundin hat?)
- Kettenbriefe (Schicken Sie eine Kopie dieses Briefs an jeweils 10 von Ihren
Bekannten und Sie werden reich!)
- Verbrauch mancher Rohstoffe (z.B. Chrom oder Erdöl)
- Wachstum der Erdbevölkerung (Finden Sie heraus, wann jeder Mensch nur
noch einen Stehplatz auf der Erde hat).
Das "heimtückische" an einem exponentiellen Wachstum ist sein zunächst schleichender Verlauf; zu Beginn eines solchen Wachstums scheint sich "praktisch nichts" zu ändern und erst nach einer gewissen Laufzeit entwickelt sich die ungeheure Wucht, die hier enthalten ist. Aus diesem Grund werden die Gefahren, die in einem solchen Wachstum stecken oft unterschätzt.
Als Beispiel soll mal die Funktion
herhalten. Zunächst mal ein Bild zum Verlauf der Funktion:
Sieht man sich die Daten an, so findet man folgende Zuwächse:
| x-Wert |
y-Wert |
Zuwachs zum vorigen y-Wert |
| 1 |
0,00000191 |
|
| 2 |
0,00000381 |
0,00000191 |
| 11 |
0,00195 |
|
| 12 |
0,00391 |
0,00195 |
| 21 |
2 |
|
| 22 |
4 |
2 |
| 31 |
2048 |
|
| 32 |
4096 |
2048 |
Stehen die x-Werte für Jahre und die y-Werte z.B. für den Landverbrauch
einer Stadt (in Quadratkilometern), so wächst die Stadt zu Beginn so
wenig, dass man es kaum messen kann; bis zum Jahr 14 scheint sich garnichts
zu ändern (für die Zeichnung sind die Werte zu klein, der Computer
setzt sie auf die x-Achse), aber jetzt geht es los: in dem Jahr von 21 nach
22 werden 2 (Quadratkilometer) verbraucht und in dem einen Jahr von 31 nach
32 werden bereits über 2000 (Quadratkilometer) verbraucht!
